Métodos de Conteo
Métodos de conteo: ¿Qué son?
Las técnicas de conteo son estrategias
matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el
número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones
dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan
cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual
combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.
Este concepto se entenderá de forma más
sencilla a través de un ejemplo. Si se tienen cuatro sillas, una amarilla, una
roja, una azul y una verde, ¿cuántas combinaciones de tres de ellas se pueden
hacer ordenadas una al lado de la otra?
Se podría resolver a este problema
haciéndolo manualmente, pensando en combinaciones como azul, rojo y amarillo;
azul, amarillo y rojo; rojo, azul y amarillo, rojo, amarillo y azul… Pero esto
puede requerir mucha paciencia y tiempo, y para eso haríamos uso de las
técnicas de conteo, siendo para este caso necesaria una permutación.
Los cinco tipos de técnicas de conteo
Las principales técnicas de conteo son las
siguientes cinco, aunque no las únicas, cada una con unas particularidades
propias y utilizadas en función de los requisitos para saber cuántas
combinaciones de conjuntos de objetos son posibles.
Realmente, este tipo de técnicas se pueden
dividir en dos grupos, en función de su complejidad, siendo uno conformado por
el principio multiplicativo y el principio aditivo, y el otro, estando
conformado por las combinaciones y las permutaciones.
1. Principio multiplicativo
Este tipo de técnica de conteo, junto con
el principio aditivo, permiten comprender fácilmente y de forma práctica cómo
funcionan estos métodos matemáticos. Si un evento, llamémoslo N1, puede ocurrir
de varias formas, y otro evento, N2, puede ocurrir de otras tantas, entonces,
los eventos conjuntamente pueden ocurrir de N1 x N2 formas. Este principio se
utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, está conformada por eventos
que ocurren de forma ordenada, como son la construcción de una casa, el elegir
los pasos de baile en una discoteca o el orden que se seguirá para preparar un
pastel.
Por ejemplo:
En un restaurante, el menú consiste en un
plato principal, un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de
segundos hay 5 y de postres hay 3.
Entonces, N1 = 4; N2 = 5 y N3 = 3.
Así pues, las combinaciones que ofrece este
menú serían 4 x 5 x 3 = 60
2. Principio aditivo
En este caso, en vez de multiplicarse las alternativas para cada evento, lo que sucede es que se suman las varias formas en las que pueden ocurrir. Esto quiere decir que si la primera actividad puede ocurrir de M formas, la segunda de N y la tercera L, entonces, de acuerdo a este principio, sería M + N + L.
Por ejemplo:
Queremos comprar chocolate, habiendo tres
marcas en el supermercado: A, B y C.
El chocolate A se vende de tres sabores:
negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin o con azúcar para cada
uno de ellos.
El chocolate B se vende de tres sabores,
negro, con leche o blanco, con la opción de tener o no avellanas y con o sin
azúcar.
Y = número de formas de seleccionar el
chocolate B.
Z = número de formas de seleccionar el
chocolate C.
El siguiente paso consiste en una simple
multiplicación.
Y = 3 x 2 x 2 = 12.
Z = 3 x 5 = 15.
W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades de
chocolate diferentes.
Para saber si se debe utilizar el principio
multiplicativo o el aditivo, la pista principal es si la actividad en cuestión
tiene una serie de pasos a realizarse, como era el caso del menú, o existen
varias opciones, como es el caso del chocolate.
3. Permutaciones
Antes de entender cómo hacer las
permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y una
permutación. Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es
importante o no cambia el resultado final. En cambio, en una permutación,
habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en
cuenta su orden o posición. En las permutaciones, hay n cantidad de elementos
distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r.
La fórmula que se utilizaría sería la
siguiente: nPr = n!/(n-r)!
Por ejemplo:
Hay un grupo de 10 personas y hay un
asiento en el que solo pueden caber cinco, ¿de cuántas formas se pueden sentar?
10P5=10!/(10-5)!=10 x 9 x 8 x 7 x 6 =
30.240 formas diferentes de ocupar el banco.
4. Permutaciones con repetición
Cuando se quiere saber el número de
permutaciones en un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales, se
procede a realizar lo siguiente: Teniéndose en cuenta que n son los elementos
disponibles, algunos de ellos repetidos. Se seleccionan todos los elementos n. Se
aplica la siguiente fórmula: = n!/n1!n2!...nk!
Por ejemplo:
En un barco se pueden izar 3 banderas
rojas, 2 amarillas y 5 verdes. ¿Cuántas señales diferentes se podrían hacer
izando las 10 banderas que se tienen?
5. Combinaciones
En las combinaciones, a diferencia de lo
que sucedía con las permutaciones, el orden de los elementos no es importante.
La fórmula a aplicar es la siguiente:
nCr=n!/(n-r)!r!
Por ejemplo:
10C2=10!/(10-2)!2!=180 parejas distintas.
Sin duda alguna los metodos de conteos son muy practicos y utiles
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