Sistema de ecuaciones lineales

 

¿ Que es un sistema de Ecuación Lineal?

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales, al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones.

A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, tiene las siguientes representaciones:

Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son coeficientes reales (ℝ).

Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y). 

 ¿Qué es un plano cartesiano?

Por si no lo recuerdas, un plano cartesiano son 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema

La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.

El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

Hay unos pocos métodos diferentes de resolver sistemas de ecuaciones lineales:

 

El método gráfico

 Este es útil cuando solo necesita una respuesta aproximada, o está bastante seguro que la intersección ocurre en coordenadas enteras. ¡Solo grafique las dos rectas, y vea donde se intersecan!

 Aunque en la realidad rara vez surgen problemas únicamente con dos o tres variables de decisión resulta, sin embargo, muy útil esta metodología de resolución. Al reproducir gráficamente las situaciones posibles como son la existencia de una solución óptima única, soluciones óptimas alternativas, la no existencia de solución y la no acotación, constituye una ayuda visual para interpretar y entender el algoritmo del método Simplex (bastante más sofisticado y abstracto) y los conceptos que lo rodean.

El método de sustitución

Primero, resuelva una ecuación lineal para y en términos de x . Luego sustituya esa expresión por y en la otra ecuación lineal. Obtendrá una ecuación en x . Resuelva esta, y tendrá la coordenada en x de la intersección. Luego sustituya x en cualquier ecuación para encontrar la coordenada en y correspondiente. (Si es más fácil, puede iniciar resolviendo una ecuación para x en términos de y , también - misma diferencia!)

El Método de Reducción

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).